Tại sao mọi người lại cố gắng dịch khái niệm Toán sang tiếng Việt nhở, nó làm tớ bối rối vô cùng. Tớ sẽ để cái này làm từ điển, mỗi lần sẽ cập nhật 1 chút
Siêu phẳng (Hyperplane)
Mặt phẳng (Plane) thường bị hiểu trong không gian 2 chiều hoặc 3 chiều. Vì vậy nên đẻ ra vụ "hyper", tức là vượt qua khái niệm phẳng đấy. Nhưng mà sao lại dùng chữ "siêu" ta, nó dễ được hiểu thành "extreme" hoặc "super" thay vì "hyper".
Về cơ bản, định nghĩa của siêu phẳng là 1 tổ hợp tuyến tính có tổng bằng 1 hằng (constant), nôm na là có chạy trong cái "không gian" đó như thế nào thì giá trị vẫn như vậy. Nó sẽ cắt không gian xung quanh thành 2 nửa, 1 phần lớn hơn hoặc bằng, 1 phần nhỏ hơn hoặc bằng.
$$
\sum_{i = 0}^{n} \lambda_i x_i = const
$$
Thứ nguyên (Dimension)
Lý do không dùng từ "Chiều" ở đây, mặc dù nó cũng có nghĩa là dimension, là để nhấn mạnh vào số lượng biến số, chứ không nằm gói gọn trong không gian nữa. Nó xuất phát từ cụm 次元, với 次 - thứ bậc (degree), 元 - cơ bản, cốt lõi. Cách giải thích này tương đối gần với môn Abstract Algebra.
Siêu phẳng tựa và thứ đẻ ra từ nó - Diện
Gọi là tựa, vì tập lồi "tựa" vào siêu phẳng tạo thành bề mặt tiếp xúc. Bề mặt tiếp xúc này gọi là diện (face). cái "diện" này sinh ra để xác định ranh giới của tập lồi.
Bao affine và bao lồi
Ban đầu tớ bị lú cái này. Về sau thì theo tớ hiểu nôm na là
- Tổ hợp affine: Là tổ hợp có dạng
$$
\sum_{i = 0}^{n} \lambda_i x_i = const, \sum \lambda_i = 1
$$
và không có ràng buộc gì thêm. Nếu hiểu nôm na kiểu hình học là nó sẽ bung xòe ra lung tung cả trong không gian \(\mathbb{R}^n\).
Tổ hợp lồi: Nó không bung ra nữa, lần này ràng buộc sẽ là \(0 \leq \lambda_i \leq 1 \). Hiểu nôm na là nó sẽ thiết lập 1 vùng chặn bao mà mọi thứ chỉ được phép nằm trong vùng bao đó.
Bao của \(\mathbb{S}\) sẽ là tập nhỏ nhất chứa \(\mathbb{S}\). Từ 2 định nghĩa bên trên chắc mọi người cũng đoán được bao lồi và bao affine ha.
Hướng lùi xa, nón lùi xa
Hướng lùi xa (Recession Direction): là 1 đặc tính (property) của tập lồi. Đơn giản nó là 1 vector (phép dịch) vô hạn lên 1 điểm trong tập lồi mà sau khi dịch thì nó vẫn không chạy ra khỏi tập lồi. Nếu nó bị chặn (bounded) thì đương nhiên là không có hướng lùi xa.
Nón (Cone): một tập \(\mathbb{K}\) sao cho 1 vector trong tập đó có kéo dãn theo bất kỳ hệ số \(\lambda\) nào thì vẫn nằm gọn trong \(\mathbb{K}\)
Bị chặn: Có 1 quả cầu (ball), nó là hình tròn hay cầu 3D, tròn méo gì cũng được, nhưng nó sẽ phủ được bên ngoài tập với bán kính hữu hạn thôi.
Nón lùi xa: Tập hợp toàn bộ hướng lùi xa.
